Штурм Иоганн Кристофер

Штурм (Sturm) Иоганн Кристофер (3.11.1635, Хиппольштейн, Бавария, - 25.12.1703, Альтдорф), немецкий математик, астроном и физик. Профессор математики и физики Альтдорфского университета (с 1669)…


Штурмовые отряды

Штурмовые отряды (Sturmabteilungen, сокр. SA), полувоенные соединения Национал-социалистской партии в Германии в 1921-45. Являлись орудием физической расправы с противниками фашизма. После захвата…


"Штурм унд Дранг"

"Штурм унд Дранг" ("Sturm und Drang"), литературное движение в Германии конца 19 в. См. "Буря и натиск"…


Штурма-Лиувилля задача

Штурма — Лиувилля задача, задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения

-[p (x) y']' + q (x) y = ly, (1)

удовлетворяющих граничным условиям вида

A1y (a) + B1y'(a) = 0, А2у (b) + B2y'(b) = 0

(т. н. собственных функций), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р (х), q (x) Ш.—Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида

-y" + q (x) y = ly. (2)

Была впервые (1837—41) исследована Ж. Лиувиллем и Ж. Ш. Ф. Штурмом.

Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к Ш.— Л. з. Например, задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, приводит к Ш.— Л. з. для уравнения —у" = lу с граничными условиями y (0) = y (p) = 0. В этом случае существует бесконечная последовательность значений 12, 22,..., n2,..., которым соответствуют собственные функции sinnx, образующие на отрезке [0, p] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная система функций). Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q (x)в уравнении (2) непрерывна и действительна на отрезке [a, b],a A1, B1, A2, B2 действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений l1,...,lп,..., стремящаяся к бесконечности, причём каждому из lп соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция jп (х),имеющая n нулей на участке а < х < b. Функции jп (х) образуют на [а, b] полную ортогональную систему функций [для уравнения (1) имеет место ортогональность с весом р (х)]. Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896. Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье по системе jп (х) доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. При возрастании п собственные значения и собственные функции Ш.¾ Л. з. для уравнения (2) стремятся к собственным значениям и собственным функциям для уравнения —у" = lу при тех же граничных условиях. Большинство встречающихся в математике ортогональных систем функций, например, многочлены Лежандра, многочлены Эрмита, являются системами собственных функций некоторых Ш.— Л. з.

Иногда Ш.— Л. з. называют краевую задачу для уравнения (1) при более общих краевых условиях:

aiy (а) + biy'(а) + giy (b) + diy'(b) = 0, i = 1, 2,

где ai, bi,gi, di — постоянные числа. Среди краевых условий такого вида наиболее важными являются у (а) = у (b), y'(a)=y'(b) (периодические условия) и у (а)= —у (b), у'(а) = —y'(b) (полупериодические условия).

Многие задачи математической физики (например, задача о распространении тепла в бесконечном неоднородном стержне) приводит к Ш.— Л. з. на полуоси или на всей оси. В 1-м случае рассматриваются решения уравнения (2), удовлетворяющие условию A1y (0)+B1y'(0) = 0; вместо последовательности собственных функций здесь появляется совокупность собственных функций j(х, l), зависящих от непрерывно изменяющегося параметра l. Вместо разложения в ряды Фурье рассматриваются разложения вида

,

где r(l) некоторая неубывающая функция. Эти разложения аналогичны Фурье интегралу. При этом

и

.

Аналогичные факты имеют место и для Ш.— Л. з. на всей оси. Для некоторых задач математической физики важное значение имеет обратная Ш.—Л. з., т. е. задача о восстановлении дифференциального уравнения по функции r(l). Эта задача была поставлена в частном случае В. А. Амбарцумяном, а в более общем случае швед. математиком Г. Бортом и решена М. Г. Крейном, И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном.

Ш.— Л. з. возникает также в некоторых вопросах квантовой механики и вариационного исчисления.

Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.— Л., 1951; Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1, М., 1953; Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.— Л., 1950.

Собственные функции

Собственные функции, понятие математического анализа. При решении многих задач математической физики (в теории колебаний, теплопроводности и т.д.) возникает необходимость в нахождении не равных…

Лиувилль Жозеф

Лиувилль (Liouville) Жозеф (24.3.1809, Сент-Омер, - 8.9.1882, Париж), французский математик, член Парижской АН (1839). Профессор Политехнической школы (1833) и Коллеж де Франс (1839). Построил теорию…

Штурм Жак Шарль Франсуа

Штурм (Sturm) Жак Шарль Франсуа (29.9.1803, Женева, - 18.12.1855, Париж), французский математик, член Парижской АН (1836), иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1836). С 1840 профессор…

Ортогональная система функций

Ортогональная система функций, система функций {(jn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом r (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что Примеры. Тригонометрическая система 1, cosnx, sin nx; n = 1, 2…

Стеклов Владимир Андреевич

Стеклов Владимир Андреевич [28.12.1863 (9.1.1864), Нижний Новгород, ныне Горький, - 30.5.1926, Крым, похоронен в Ленинграде], советский математик, академик. (1912; член-корреспондент 1902). В 1919-26…

Гильберт Давид

Гильберт, Хильберт (Hilbert) Давид (23.1.1862, Велау, близ Кёнигсберга, - 14.2.1943, Гёттинген), немецкий математик. Окончил Кёнигсбергский университет, в 1893-95 профессор там же, в 1895-1930…

Фурье интеграл

Фурье интеграл, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x) удовлетворяет на каждом…

Амбарцумян Виктор Амазаспович

Амбарцумян Виктор Амазаспович [р. 5(18).9.1908, Тифлис], советский астрофизик, работающий в области физики звёзд и туманностей, звёздной астрономии и динамики звёздных систем, космогонии звёзд и…

Штук Франц фон

Штук (Stuck) Франц фон (23.2.1863, Теттенвейс, Нижняя Бавария, - 30.8.1928, Мюнхен), немецкий живописец. Посещал мюнхенскую АХ (1885), в основном самоучка. Испытал влияние А. Бёклина,Ф. фон Ленбаха…


Штук (искусств. мрамор)

Штук (нем. Stuck), искусственный мрамор; то же, что стукко…


Штукатурные работы

Штукатурные работы, отделка поверхностей конструктивных элементов и частей зданий или сооружений (наружных и внутренних стен, потолков, перегородок и т.п.) строит. (штукатурным) раствором. Ш. р…